Чему равна длина суммы векторов

14.07.2025 в 17:51

Длина суммы векторов является важной характеристикой в векторной алгебре и имеет практическое применение в физике, инженерии и компьютерной графике. Рассмотрим методы расчета этого показателя для различных случаев.

Основные формулы для расчета длины суммы векторов

Геометрическая интерпретация

Длина суммы векторов соответствует диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах (правило параллелограмма). Для трех и более векторов применяется последовательное сложение по правилу многоугольника.

Свойства длины суммы векторов

• Неравенство треугольника: |a + b| ≤ |a| + |b|
• Для ортогональных векторов выполняется теорема Пифагора
• Длина суммы зависит от угла между векторами
• Максимальная длина суммы достигается при сонаправленных векторах

Примеры расчетов

1. Даны векторы |a|=3, |b|=4 с углом 60° между ними: |a + b| = √(9 + 16 + 2×3×4×0.5) = √37 ≈ 6.08
2. Перпендикулярные векторы |a|=5, |b|=12: |a + b| = √(25 + 144) = 13
3. Сонаправленные векторы |a|=7, |b|=2: |a + b| = 7 + 2 = 9

Практическое применение

Расчет длины суммы векторов используется при:

• Определении результирующей силы в физике
• Анализе скоростей в механике
• Компьютерной графике и обработке изображений
• Навигационных системах и расчете траекторий